Question

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(x^2-2x+\sqrt{-x^2+2x}-3+m\)nhỏ hơn hoặc = 0 có nghiệm

Answer 1

ĐKXĐ: \(0\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+2x}=a\Rightarrow0\le a\le1\)

BPT trở thành: \(-a^2+a-3+m\le0\)

\(\Rightarrow a^2-a+3\ge m\) (1)

Để (1) có nghiệm \(\Rightarrow m\le\max\limits_{\left[0;1\right]}\left(a^2-a+3\right)\)

Đặt \(f\left(a\right)=a^2-a+3\)

\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\); \(f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}\)

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[0;1\right]}f\left(a\right)=3\Rightarrow m\le3\)