Question

cmr:\(\forall x,y\in Z\)

A=\(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

là số chính phương

Answer 1

Ta có: \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(A=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)

\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\)

\(\Rightarrow A=a\left(a+2y^2\right)+y^4\)

\(A=a^2+2ay^2+y^4\)

\(A=\left(a+y^2\right)^2\)

Thay \(x^2+5xy+4y^2=a\), ta có

\(A=\left(x^2+5xy+4y^2+y^2\right)^2\)

\(A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Vậy với mọi x, y nguyên thì A là số chính phương.