Question

cmr phương trình: \(x^2-\left(2m-1\right)x+2m-4=0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=\(x_1^2+x_2^2\)

Answer 1

Ta có:
\(\Delta=\left[-\left(2m-1\right)\right]^2-4.1.\left(2m-4\right)\\ =\left(2m-1\right)^2-4\left(2m-4\right)\\ =4m^2-4m+1-8m+16\\ =4m^2-12m+17\\ =4m^2-12m+9+8\\ =\left(2m-3\right)^2+8>0\)

Suy ra pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét:  \(x_1+x_2=2m-1;x_1x_2=2m-4\)

\(A=x_1^2+x_2^2\\ =\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ =\left(2m-1\right)^2-2\left(2m-4\right)\\ =4m^2-4m+1-4m+8\\ =4m^2-8m+9\\ =4m^2-8m+4+1\\ =\left(2m-2\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra `<=> m=1`

Vậy `A_(min) = 1 <=> m=1`