Lời giải:
Với $m$ tận cùng là $5$. Đặt $m=10k+5$ ($k\in\mathbb{N}$)
\(P=12^{10k+5}+9^{10k+5}+8^{10k+5}+6^{10k+5}\)
Chứng minh \(P\vdots1 1\)
Áp dụng định lý Fermat nhỏ, với $(a,p)=1$ thì $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ ta có:
\(P=(12^{10})^k.12^5+(9^{10})^k.9^5+(8^{10})^k.8^5+(6^{10})^k.6^5\)
\(\equiv 12^5+9^5+8^5+6^5\pmod {11}\)
Mà:
\(12^5+6^5=6^5(2^5+1)=6^5.33\equiv 0\pmod {11}\)
\(9^5+8^5=3^{10}+2^5.2^{10}\equiv 1+2^5.1\equiv 33\equiv 0\pmod {11}\)
\(\Rightarrow P\equiv 12^5+6^5+9^5+8^5\equiv 0+0\equiv 0\pmod {11}\) hay $P\vdots 11$ (1)
-------------------------
Chứng minh \(P\vdots 181\)
\(P=(12^5)^{2k+1}+(9^5)^{2k+1}+(8^5)^{2k+1}+(6^5)^{2k+1}\)
\((12^5)^{2k+1}+(9^5)^{2k+1}\vdots 12^5+9^5\) do $2k+1$ lẻ
Mà \(12^5+9^5=3^5(4^5+3^5)=3^5.1267\vdots 181\)
\(\Rightarrow (12^5)^{2k+1}+(9^5)^{2k+1}\vdots 181\)
\((8^5)^{2k+1}+(6^5)^{2k+1}\vdots 8^5+6^5\) do $2k+1$ lẻ
Mà \(8^5+6^5=2^5(4^5+3^5)=2^5.1267\vdots 181\)
\(\Rightarrow (8^5)^{2k+1}+(6^5)^{2k+1}\vdots 181\)
Do đó: \(P\vdots 181(2)\)
Từ \((1);(2)\) mà $(181,11)=1$ nên \(P\vdots (181.11)\Leftrightarrow P\vdots 1991\) (đpcm)
Bạn xem lại đề. Với $m=6$ thì $P$ không chia hết cho $1991$
