Giả sử đa thức \(f\left(x\right)\) có hệ số nguyên là :
\(f\left(x\right)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}+.....+a_{k1}x+ak\)
\(f\left(7\right)=5\) \(;\) \(f\left(15\right)=9\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)=a_17^n+a_27^{n-1}+a_37^{n-2}+.....+a_{k1}7+ak=5\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(15\right)=a_115^n+a_215^{n-1}+a_315^{n-2}+.....+a_{k1}15+ak=9\)
\(\Rightarrow f\left(15\right)-f\left(7\right)=a_1\left(15^n-7^n\right)+a_2\left(15^{n-1}-7^{n-1}\right)+...+\left(a_k-a_k\right)=4\)
Xét vế trái : \(15^n-7^n⋮8\)
\(15^{n-1}-7^{n-1}⋮8\)
\(---------\)
Vậy vế trái chia hết cho 8. Còn vế phải \(4⋮̸8\)
Vậy không có đa thức nào có hệ số nguyên nào mà \(f\left(7\right)=5;f\left(15\right)=9\)
Giả sử tồn tại đa thức với hệ số nguyên f(x) thỏa mãn
f(7) = 5; f(15) = 9, khi đó
\(\left[f\left(15\right)-f\left(7\right)\right]⋮\left(15-7\right)=8\)
\(\Rightarrow\left(9-5\right)⋮8\)
\(\Rightarrow4⋮8\) (vô lý)
Vậy không có đa thức f(x) với hệ số nguyên nào có thể có giá trị f(7) = 5 và f(15) = 9
