Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hồng Sakura

CMR : a4 + b4 + 2 ≥ 4ab ( a,b>0)

Aki Tsuki
31 tháng 5 2018 lúc 16:44

\(a^4+b^4+2=a^4+b^4+1+1\ge4\sqrt[4]{a^{4\cdot}\cdot b^4\cdot1\cdot1}=4ab\left(đpcm\right)\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b

Nguyễn Nhật Minh
31 tháng 5 2018 lúc 17:40

Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm , ta có :

a4 + b4 + 1 + 1 ≥ \(4\sqrt[4]{a^4.b^4.1.1}=4ab\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = 1

Hiiiii~
31 tháng 5 2018 lúc 16:51

Giải:

Ta có: a, b > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge\left(\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
1 tháng 6 2018 lúc 8:08

Cách khác :V

Theo BĐT Cô - si ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+1\ge2a^2\\b^4+1\ge2b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\) ( đpcm )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=1\)

Trần Quốc Lộc
1 tháng 6 2018 lúc 8:54

Áp dụng BDT: Cô-si : \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge2a^2b^2\\ \Rightarrow a^4+b^4+2\ge2a^2b^2+2\left(1\right)\)

Xét hiệu:

\(2a^2b^2+2-4ab\\ =2\left(a^2b^2-2ab+1\right)\\ =2\left(ab-1\right)^2\ge0\\ \Rightarrow2a^2b^2+2\ge4ab\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\left(đpcm\right)\)

Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\) đẳng thức xảy ra khi: \(a=b=1\)


Các câu hỏi tương tự
oooloo
Xem chi tiết
Chuột yêu Gạo
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Uyen Nguyen
Xem chi tiết
Hà Hoàng Long
Xem chi tiết
Trí Phạm
Xem chi tiết
Kitana
Xem chi tiết
Hồng Đức Nguyễn
Xem chi tiết
Kfkfj
Xem chi tiết