Question

CMR: \(5.7^{2\left(n+1\right)}+2^{3n}⋮41\)

Answer 1

CMR: \(5.7^{2\left(n+1\right)}+2^{3n}⋮41\) (*)

Với \(n=1\) ta có \(5.7^4+2^3=12013⋮41\)

=> (*) đúng với n = 1

Gỉa sử (*) đúng với n = k tức là: \(5.7^{2\left(k+1\right)}+2^{3k}⋮41\)

hay \(5.7^{2\left(k+1\right)}+2^{3k}=41m\)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1

tức là \(5.7^{2\left(k+2\right)}+2^{3\left(k+1\right)}⋮41\)

Thật vậy \(5.7^{2\left(k+2\right)}+2^{3\left(k+1\right)}=5.7^{2\left(k+1\right)}.7^2+2^{3k}.2^3\)

\(=7\left(5.7^{2k+1}+2^{3k}\right)-\left(7^2-2^3\right).2^{3k}\)

\(=7.41m-41.2^{3k}=41\left(7m-2^{3k}\right)⋮41\)\(\Rightarrowđpcm\)