Question

CM trong 1 tứ giác thì:

a) Tổng 2 đường chéo lớn hơn tổng 2 cạnh đối

b) Tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Answer 1

a, Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(\Delta OAB\) có OA + OB > AB ﴾1﴿

\(\Delta OCD\) có OC + OD > CD ﴾2﴿

cộng vế với vế của ﴾1﴿ và ﴾2﴿ ‐=> AC + BD > AB + CD

Vậy : Tổng 2 đường chéo lớn hơn tổng 2 cạnh đối

b) Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c
Tương tự: AC+BD>b+d.
\(\Rightarrow\): 2﴾AC+BD﴿>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AC<a+b;AC<c+d
BD<b+c;BD<a+d
⇒2﴾AC+BD﴿<2﴾a+b+c+d﴿.
⇒AC+BD<a+b+c+d.
Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác