Question

Chứng minh: x⁴ + y⁴ + z⁴\(\ge\) xyz(x + y + z)

Answer 1

Answer 2

Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:

\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)

\(TT:y^4+z^4\ge2y^2z^2\)

\(z^4+x^4\ge2z^2x^2\)

Cộng vế với vế ta được:

\(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\) (1)

Tương tự:\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2\ge xy.yz+yz.xz+xz.xy=xy^2z+xyz^2+x^2yz=xyz\left(x+y+z\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z