Question

Chứng minh rằng với mọi x, y, z thuộc R; ta có:

\(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge\sqrt{3}.\left(x+y+z\right)\)

Answer 1

Bài này thì khá đơn giản nha

Ta có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}}=\sqrt{3}.\dfrac{x+y}{2}\)

Tương tự ra có: \(\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{3}.\dfrac{x+z}{2}\)

                           \(\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge\sqrt{3}.\dfrac{y+z}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{x+y+z+x+y+z}{2}\right)=\sqrt{3}.\left(x+y+z\right)\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=z\)

Answer 2

Có trong câu hỏi tương tự ; k cần cảm ơn đâu