Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Nguyễn Hồng Pha

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\ge2\) :

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{2}{3}\)

Ho Chau Ngan
10 tháng 8 2017 lúc 21:34

k² > k² - 1 = (k-1)(k+1)
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*)

Áp dụng (*), ta có:
1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n²
< 1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)]
= 1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2
= 1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2
= 2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 2/3

Bình luận (0)
Hoàng Hạ Tố Như
10 tháng 8 2017 lúc 21:39

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right).n}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}\le1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}< \dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\)đpcm

Bình luận (4)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Tô Thu Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Phương
Xem chi tiết
CandyK
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết