Câu hỏi của Hà Linh

Question

Chứng minh rằng nếu  a3+b3+c3=3abc và a, b, c là các số dương thì a=b=c

Nguyễn Thành Trương · Accepted Answer

Ta có:

$a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\right)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\text{ (do }a+b+c>0\text{)}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0$

$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$Câu trả lời: Ta có:

$a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\right)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\text{ (do }a+b+c>0\text{)}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0$

$\Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Y · Answer

+ $a^3+b^3+c^3=abc$ $\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2+c^2-ac-bc-3ab\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ ( do a + b + c > 0 )

$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$

$\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0$

$\Leftrightarrow a=b=c$Câu trả lời: + $a^3+b^3+c^3=abc$ $\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$