Question

Chứng minh rằng nếu 1 tam giác có 1 trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác là tam giác cân.

Answer 1

Giả sử \(\Delta\)ABC có trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ACM có

AM là cạnh chung

\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\left(=90^o\right)\)

BM = CM (AM là trung tuyến \(\Delta\)ABC)

=> \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ACM (c.g.c)

=> AB = AC (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\)ABC cân tại A (đpcm)

Answer 2

Gọi tam giác đó là △ABC có AH vừa là đường trung trực vừa là đường cao.

Xét △ABH và △AHC có

AH chung

∠AHB=∠AHC (AH⊥BC) ⇔ △ABH=△ACH (C-G-C)⇒AB=AC (2 cạnh tương ứng)⇔△ABC cân tại A

HB=HC (giả thiết)

Vậy tam giác ABC có AH vừa là đường trung trực vừa là đường cao là tam giác cân