Question

Chứng minh rằng M không là số tự nhiên với a, b, c, d là các số tự nhiên

\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}\)

Answer 1

@Bài sửa

Với a, b, c, d là các số tự nhiên

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow M>\left(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}\right)\)

\(\Rightarrow M>1\)                (*)

Ta lại có:

\(\frac{a}{a+b}<\frac{a+b}{a+b+c};\frac{b}{b+c}<\frac{b+c}{b+c+a};\frac{c}{c+a}<\frac{c+a}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow M<\left(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+a}+\frac{c+a}{c+a+b}\right)\)

\(\Rightarrow M<2\)               (**)

Từ (*) và (**) ta có 1 < M < 2 suy ra M không là số tự nhiên

Answer 2

Với a, b, c, d là các số tự nhiên

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}<\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}<\frac{b}{b+c+a};\frac{c}{c+a}<\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=1\)

\(\Rightarrow M<1\)           (*)

Ta lại có: 

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a+b}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b+c}{b+c+a};\frac{c}{c+a}>\frac{c+a}{c+b+a}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+a}+\frac{c+a}{c+a+b}=2\)

\(\Rightarrow M<2\)           (**)

Từ (*) và (**) ta có 1 < M < 2 suy ra M không là số tự nhiên

 

Answer 3

* Chú ý: Để giải bài toán này ta áp dụng công thức:

\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\) (với a, b, c cũng là các số tự nhiên)