Question

Chứng minh rằng hiệu của 1 số và số viết theo thứ tự ngược lại thì chia hết cho 9

( Khi ta đổi vị trí các chữ số trong 1 số tự nhiên bất kì thì ta được 1 số mới. Chứng minh rằng hiệu của số cũ và số mới chia hết cho 9)

Answer 1

Lời giải:

Xét số $\overline{a_1a_2...a_n}$. Số ngược lại của nó là:

$\overline{a_na_{n-1}...a_1}$

Hiệu 2 số: $\overline{a_1a_2...a_n}-\overline{a_na_{n-1}...a_1}$

$=a_1.10^{n-1}+a_2.10^{n-2}+...+a_n-(a_n.10^{n-1}+a_{n-1}.10^{n-2}+...a_1)$

$=a_1(10^{n-1}-1)+a_2(10^{n-2}-10^1)+a_3(10^{n-3}-10^3)+...+a_n(1-10^{n-1})$

Ta thấy:

$10^{n-1}-1\vdots (10-1=9)$ theo hằng đẳng thức đáng nhớ

$10^{n-2}-10=10(10^{n-3}-1)\vdots (10-1=9)$

......

$1-10^{n-1}=-(10^{n-1}-1)\vdots 9$

Do đó hiệu 2 số chia hết cho $9$

Ta có đpcm.