Question

Chứng minh pt sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

\(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\)

Answer 1

f(x)=(1−m²) (x+1)³+x²−x−3 là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có f(−1)=−1<0 và f(−2)=m²+2>0 nên f(−1) f(−2)<0 với mọi m.

Do đó, phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (1−m²) (x+1)³+x²−x−3 luôn có nghiệm với mọi m.

Answer 2

Do hàm số \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên R, nên liên tục trên \(\left[-2,-1\right]\)

\(f\left(-1\right)=-1< 0;f\left(-2\right)=m^2+2>0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm