Question

Bài 1 :

Tìm các giá trị của m để hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}khix< 0\\m+\frac{1-x}{1+x}khix\ge0\end{matrix}\right.\) liên tục tại x = 0 ?

Bài 2 : Chứng minh rằng phương trình \(4x^4+2x^2-x-3=0\) có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng (-1;1)

Answer 1

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(m+\frac{1-x}{1+x}\right)=m+1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right)\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2x}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\frac{-2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=-1\)

Để hàm số liên tục tại x=0

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)

\(\Leftrightarrow m+1=-1\Rightarrow m=-2\)

Bài 2:

Đặt \(f\left(x\right)=4x^4+2x^2-x-3\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(-1\right)=4>0\) ; \(f\left(0\right)=-3< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(-1;0\right)\)

\(f\left(1\right)=2>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;1\right)\)

Vậy \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-1;1\right)\)