Question

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}khix>0\\\sqrt{x^2+1}-mkhix\le0\end{matrix}\right.\) liên tục trên R

A. \(m=\frac{3}{2}\)

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=-2\)

D. \(m=-\frac{1}{2}\)

Answer 1

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{x}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(\sqrt{x^2+1}-m\right)=1-m\)

Để hàm số liên tục trên R \(\Leftrightarrow\) liên tục tại \(x_0=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}=1-m\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)