Question

Chứng minh \(\frac{7x^2+9}{15}\) không phải là số chính phương.

Giúp mình với ạ

Answer 1

Đặt \(A=\frac{7x^2+9}{15}\)

Muốn chính phương thì trước hết nó phải nguyên, hay \(7x^2+9⋮15\)

9 và 15 đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow x^2⋮3\Rightarrow x⋮3\Rightarrow x=3a\)

\(\Rightarrow A=\frac{21a^2+3}{5}=\frac{3\left(7a^2+1\right)}{5}\)

Do \(3⋮̸5\) nên \(A⋮3\) , mà A chính phương nên \(A⋮9\)

\(\Rightarrow7a^2+1⋮3\Rightarrow6a^2+a^2+1⋮3\)

\(\Rightarrow a^2+1⋮3\) (vô lý do \(a^2\) chia 3 dư 0 hoặc 1 với mọi a nguyên nên \(a^2+1\) không chia hết cho 3 với mọi a nguyên)

Vậy \(A\) ko phải SCP