Lời giải:
Xét hiệu:
\((a+b+c)^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)-(ab+bc+ac)\)
\(=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac=\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca}{2}\)
\(=\frac{(a^2+2ab+b^2)+(b^2+2bc+c^2)+(c^2+2ca+a^2)}{2}=\frac{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}{2}\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\)
Suy ra $(a+b+c)^2\geq ab+bc+ac$ (đpcm)
Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ac = 1. Chứng minh rằng :\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
với a,b,c ≥ 0 và a+b+c=3. chứng minh rằng:
(1) a/a+2bc+b/b+2ac+c/c+2ab ≥1 (2)a/2a+bc+b/2b+ac+c/2c+ab ≤ 1
CHo a+b+c=1 (a,b,c>0) CMR:
S=\(\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\dfrac{ac}{\sqrt{b+ac}}+\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b,c thuộc R. Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge ab-bc-ac\)
cho a b c là các số thực dương sao cho abc = 1
chứng minh \(\frac{a}{ca+1}+\frac{b}{ab+1}+\frac{c}{bc+1}\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=1.\)
Chứng minh rằng: \(8abc-8\le\left(ab+bc+ca+1\right)^2\)
Cho a , b , c > 0 thỏa mãn \(a+b+c=3\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
Cho 3 số thực a,b,c ko âm.CM \(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\le a^3+b^3+c^3\)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)
