Câu hỏi của Nguyễn Trần An Thanh

Question

Cho $x+y+z=3$

a. Tìm GTNN của $A=x^2+y^2+z^2$

$b.$Tìm GTLN của $B=xy+yz+xz$

Lightning Farron · Accepted Answer

a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=3^2=9$

$\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

b)Ta có BĐT $3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow-\left(a+b+c\right)^2\le0$

$\Rightarrow3B\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9$

$\Rightarrow B\le3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$Câu trả lời: a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=3^2=9$

$\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

b)Ta có BĐT $3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow-\left(a+b+c\right)^2\le0$

$\Rightarrow3B\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9$

$\Rightarrow B\le3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn