Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Minecraftboy01

Cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [0:4]. Tìm giá trị lớn nhất của :P= \(\sqrt{xy}\left(x-y\right)+\sqrt{yz}\left(y-z\right)+\sqrt{zx}\left(z-x\right)\)

Ngô Bá Hùng
6 tháng 1 2020 lúc 21:33

Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\) thì \(a,b,c\in\left[0;2\right]\)

\(P=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có \(P=ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b^3-a^3\right)+c^3\left(a-b\right)\\ =ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b-a\right)\left(b^2+ba+a^2-c^2\right)\le ab\left(a^2-b^2\right)\le2b\left(4-b^2\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le4b^2\left(4-b^2\right)^2\le2\left[\frac{2b^2+2\left(4-b^2\right)}{3}\right]^3=\frac{1024}{27}\Rightarrow P\le\frac{32\sqrt{3}}{9}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{32\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow a=2,b=\frac{2\sqrt{3}}{3},c=0\) hay \(x=4,y=\frac{4}{3},c=0\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
Xem chi tiết
trần thị trâm anh
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
ITACHY
Xem chi tiết
Như Trần
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết