Câu hỏi của nguyễn minh

Question

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x>=z. CMR:

$\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\ge\frac{5}{2}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Giờ mình lội lại noti mới nhìn thấy bài tag. Không biết bạn còn cần không nhưng mình vẫn post lời giải để mọi người tham khảo:

Ta có:

$\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{x+2z}{x+z}=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{z}{x+z}+1$

$=\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{xz}{y^2}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}+1$

Đặt $(\frac{x}{y}, \frac{y}{z})=(a,b)\Rightarrow ab=\frac{x}{z}\geq 1$ do $x\ge z$

BĐT cần CM trở thành:

$\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+1}+1\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}+1\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a+b+1}{b+1}+\frac{b+a+1}{a+1}+\frac{1}{ab+1}\geq \frac{7}{2}(*)$

Đăt $P=\frac{a+b+1}{b+1}+\frac{b+a+1}{a+1}+\frac{1}{ab+1}$. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có:

$P\geq (a+b+1).\frac{4}{b+1+a+1}+\frac{1}{(\frac{a+b}{2})^2+1}=\frac{4(a+b+1)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^2+4}(1)$

Đặt $t=a+b$. Theo BĐT AM-GM $t=a+b\geq 2\sqrt{ab}\geq 2\sqrt{1}=2$

Xét hiệu:

$\frac{4(a+b+1)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^2+4}-\frac{7}{2}=\frac{4(t+1)}{t+2}+\frac{4}{t^2+4}-\frac{7}{2}$

$=\frac{t^3-6t^2+12t-8}{2(t+2)(t^2+4)}=\frac{(t-2)^3}{2(t+2)(t^2+4)}\geq 0, \forall t\geq 2$

$\Rightarrow \frac{4(a+b+1)}{a+b+2}+\frac{4}{(a+b)^2+4}\geq \frac{7}{2}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{7}{2}$. BĐT $(*)$ đúng, ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$Câu trả lời: Giờ mình lội lại noti mới nhìn thấy bài tag. Không biết bạn còn cần không nhưng mình vẫn post lời giải để mọi người tham khảo: