Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
lê thị hương giang

Cho x,y,z là ba số thực bất kì thỏa mãn 2x + 2y + z = 4 .

Tìm GTLN của A = 2xy + yz + xz

Hung nguyen
27 tháng 4 2018 lúc 15:29

\(A=2xy+yz+xz\)

\(=2xy+y\left(4-2x-2y\right)+x\left(4-2x-2y\right)\)

\(=-2x^2-2xy+4x-2y^2+4y\)

\(=\left[-\left(x^2+2xy+y^2\right)+\dfrac{8}{3}\left(x+y\right)-\dfrac{16}{9}\right]-\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}\right)-\left(y-\dfrac{4}{3}y+\dfrac{4}{9}\right)+\dfrac{8}{3}\)\(=-\left(x+y-\dfrac{4}{3}\right)^2-\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\le\dfrac{8}{3}\)

Vậy \(A_{max}=\dfrac{8}{3}\) tại \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Đào Thị Huyền
27 tháng 4 2018 lúc 14:02

z = 4-2(x+y)

=> A= 2xy + y[4-2(x+y)] + x[4-2(x+y)]

=\(2xy+4y-2xy-2y^2+4x-2x^2-2xy\)

= \(-\left(y^2-4y+4\right)-\left(x^2-4x+4\right)-\left(y^2+2xy+x^2\right)+8\)

=\(8-\left[\left(y-2\right)^2+\left(x-2\right)^2-\left(y-x\right)^2\right]\le8\forall x,y\)

vậy GTLN của A là 8 khi x=y=2


Các câu hỏi tương tự
Mai Thành Đạt
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
Phạm Thùy Linh
Xem chi tiết
Bao Than Đen
Xem chi tiết
Bao Than Đen
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
Quỳnh Phương
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
 Ocean
Xem chi tiết