Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
abcd

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn:x+y+z=3

Chứng minh rằng:\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3x+xy}}\le1\)

Các pro giải hộ vs(làm cách mà hs lớp 9 hiểu đc nha)

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 5 2020 lúc 19:42

Sửa đề: mẫu số cuối cùng là \(z+\sqrt{3z+xy}\) mới hợp lý

\(3x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

Mà theo BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(x+y\right)\left(z+x\right)\ge\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yx}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{3y+zx}\ge\sqrt{yz}+\sqrt{xy}\) ; \(\sqrt{3z+xz}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{y+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{z+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Đặng Kim Anh
Xem chi tiết