Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
minh nguyen thi

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+3y\(\le\) 10

CMR: \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{27}{\sqrt{3y}}\ge10.\) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Akai Haruma
26 tháng 7 2018 lúc 21:45

Lời giải:

Áp dụng BĐT SVac-xơ:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}+\frac{9}{\sqrt{3y}}\geq \frac{(1+3+3+3)^2}{\sqrt{x}+3\sqrt{3y}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+3y)(1+9)\geq (\sqrt{x}+3\sqrt{3y})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x}+3\sqrt{3y}\leq \sqrt{10(x+3y)}\leq 10(2)\) do \(x+3y\leq 10\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{x+3\sqrt{3y}}\geq \frac{100}{10}=10\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x}}{1}=\frac{\sqrt{3y}}{3}; x+3y=10\Rightarrow x=1;y=3\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Poor girl
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết