Đổi tên cái biểu thức thành M cho nó đỡ nhầm lẫn với phần đặt ẩn phụ của em-_- Mà em ko chắc đâu nha! Lâu rồi ko làm dạng này nên ko quen
Dự đoán \(x=y=\sqrt{2}-1\rightarrow M=\frac{5}{2}\left(1+\sqrt{2}\right)\). Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất của M. Một cách rất tự nhiên, đặt \(S=x+y;P=xy>0\) ta thấy \(1=x+y+xy\ge2\sqrt{xy}+xy\Rightarrow\sqrt{P}\le-1+\sqrt{2}\Rightarrow0< P\le3-2\sqrt{2}\)
\(S=\left(2+2\sqrt{2}\right)P\)
Ta có: S + P = 1-> S = 1 - P. Tìm min \(M=\frac{1}{x+y}+\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{S}+\frac{S}{P}=\frac{S^2+P}{SP}=\frac{P^2-P+1}{P-P^2}\) (chỗ này em tính dùng miền giá trị nhưng ôi chao kỳ lạ, nó ko ra,chắc là em tính sai gì đó rồi nhỉ?)
Hiển nhiên M >0 (*). Dễ thấy M là hàm nghịch biến nên đạt giá trị nhỏ nhất khi
\(P=3-2\sqrt{2}\) khi đó \(M=\frac{5}{2}\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}-1\)
Vậy....
