\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(y+1\right)}{8\left(y+1\right)}}=\frac{3}{2}x\)
Tương tự: \(\frac{y^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}y\)
Cộng vế với vế:
\(B+\frac{x+y+2}{4}+1\ge\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{xy}-\frac{3}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\)
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr: \(D=\frac{a^4}{b^2\left(c+2\right)}+\frac{b^4}{c^2\left(a+2\right)}+\frac{c^4}{a^2\left(b+2\right)}\ge1\)
5. Cho a,b,c là các số dương không lớn hơn 1. Cmr: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)
6. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\). Cmr: \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le x+y\le9+3\sqrt{15}\).
7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Cmr: \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\).
8. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015.\) Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\).
9. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(\left(x+y-1\right)^2=xy\). Tìm GTNN của biểu thức: \(M=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\).
10. Tìm m để phương trình \(mx^2-\left(5m-2\right)x+6m-5=0\) có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
11. Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x^2+y\ge1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(N=y^2+\left(x^2+2\right)^2\).
12. Cho 9 số thực \(a_1,a_2,...,a_9\) không nhỏ hơn -1 và \(a_1^3+a_2^3+...+a_9^3=0\). Tính GTLN của biểu thức \(Q=a_1+a_2+...+a_9\).
13. cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Cmr: \(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}< 78\)
Mn làm giúp mk với. Mk đang cần gấp
1. Cho a,b,c > 0. Cmr: a) \(\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ca}+\frac{ab}{c^2+2ab}\le1\)
b) \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\)
2. Cho \(x,y,z>0;x+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge3;\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\ge2;\frac{z}{5}\ge1.MaxP=x^2+y^2+z^2\)
3. Cho \(x>0;y\ge2;2x+y+xy\ge6.MinP=x^3+y^2\)
4. Cho \(0< \alpha< \beta< \gamma\). Giả sử x,y,z > 0 TM \(z\ge\gamma;\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{xyz}{\alpha\beta\gamma}=4;\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}+\frac{yz}{\beta\gamma}=3.MinP=x^3+y^3+z^3\)
Cho \(x\ge3,y\ge2,z\ge1.CMR\)
\(\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{x-3}}{xyz}\le\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
a) CMR với mọi số thực x,y > 0 ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. CMR:
\(\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le\frac{1}{2}\)
1. a) Tìm \(n\in N\)*, \(n>2008\) sao cho \(2^{2008}+2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}+2^{2016}+2^n\) là số chính phương
b) tìm x,y > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2=2\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\)
2. a) \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a+b\ge1\end{matrix}\right.\). Min \(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}a,b\ge0\\\left(a-b\right)^2=a+b+2\end{matrix}\right.\). Cmr: \(\left(1+\frac{a^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\left(1+\frac{b^3}{\left(b+1\right)^3}\right)\le9\)
c) \(x,y>0;\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2020\). Min P = x + y
d) \(x,y,z>0;\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=6\). Min \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
e) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y+z+4xyz=4\end{matrix}\right.\) Cmr: \(\left(1+xy+\frac{y}{z}\right)\left(1+yz+\frac{z}{x}\right)\left(1+zx+\frac{x}{y}\right)\ge27\)
f) \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z\ge1\\3x^2+4y^2+5z^2=52\end{matrix}\right.\). Min P = x + y + z
g) \(x,y>0\). Min \(P=\frac{2}{\sqrt{\left(2x+y\right)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{\left(x+2y\right)^3+1}-1}+\frac{\left(2x+y\right)\left(x+2y\right)}{4}-\frac{8}{3\left(x+y\right)}\)
1 ) Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
2 ) Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3
CMR : \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
Cho \(0< x,y,z\le1\). CMR: \(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}< \frac{3}{x+y+z}\)
1/CMR
a/\(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\forall x\in R\)
b/cho \(a\ge0,b\ge2,a+b+c=3\). CMR : \(a^2+b^2+c^2\le5\)
c/cho a,b,c >0 . CMR : \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
2/ cho \(x,y\ge0,x+y=1\). tìm GTLN,GTNN của A =\(x^2+y^2\)
3/ cho x,y>0 .tìm GTNN của B= \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)
Cho các sô thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z = 4
CMR \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
