Vì \(x+y+z=4\Rightarrow x=4-\left(y+z\right)\)
Mặt khác : \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge1\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge x\left(1\right)\)
Thay x = 4 - ( y +z ) vào (1) ta được
\(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\ge4-\left(y+z\right)\Leftrightarrow\frac{1}{y}-2+y+\frac{1}{z}-2+z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\) luôn đúng
dấu " = " xảy ra khi y = z = 1 và x= 2
Một hướng giải bằng Cô si (AM-GM) đỡ cồng kềnh hơn!
\(VT=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{4^2}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=z;x=y+z;x+y+z=4\)
\(\Rightarrow x=2;y=z=1\)
Vậy...
