Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(S=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{9}{2xy}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{9}{2xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{9}{2\cdot\dfrac{1}{4}}=22\)
Xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm min \(K=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}\)
Cho x+y = 1 ; x>0 ; y>0. Tìm min của :
b) \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\) ( a,b là hằng số dương đã cho )
c) \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
P/s : cần gấp :(
cho x>0;y>;x+y=1. Tìm min \(H=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)\)
Cho \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\left(x,y,z\ne0\right)\). Tính \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}\)
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2 \(\le\) 3. Tìm min của P = \(\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)
Bài 1: Cho x+y=1 (x>0,y>0). Tìm giá trị nhỏ nhất(GTNN) của:
a. \(\dfrac{1}{x}\)+\(\dfrac{1}{y}\)
b. \(\dfrac{a^2}{x}\)+\(\dfrac{b^2}{x}\)
c. (x+\(\dfrac{1}{x}\))\(^2\) +(y+\(\dfrac{1}{y}\))\(^2\)
Bài 2: Tìm GTNN của: x\(^2\)+y\(^2\)+\(\dfrac{2}{xy}\) với x,y cùng dấu
Bài 3: Cho các số dương x,y thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x^2}\)+\(\dfrac{1}{y^2}\)=\(\dfrac{1}{2}\). Tìm GTNN của:
a. A=xy
b. B=x+y
Bài 4:
Cho D = \(\dfrac{2}{x}\)- \((\dfrac{x^2}{x^2-xy}+\dfrac{x^2-y^2}{xy}-\dfrac{y^2}{y^2-xy})\): \(\dfrac{x^2-xy+y^2}{x-y}\)
a) Rút gọn D
b) Tính D với |2x - 1| = 1 ; |y + 1| =\(\dfrac{1}{2}\)
Bài 5:
Cho E = \((\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{3x^2+3}{x^2-9})\): \((\dfrac{2x-2}{x-3}-1)\)
a) Rút gọn E
b) Tìm x để E < \(\dfrac{1}{2}\)
c) Tìm GTNN của E (x + 3) (1 - x - x2)
a, Chứng minh bất đẳng thức a2+b2+2 ≥ 2(a+b)
b,Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x^2+y^2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x+y
c, Cho a,b > 0 và a+b = 1. Tìm GTNN của S=\(\dfrac{1}{ab}\)+1/a2+b2
Tìm điều kiện của x và y để biểu thức A lớn hơn 1 :
A=\(\left(\dfrac{x}{y^2+xy}-\dfrac{x-y}{x^2+xy}\right)\) : \(\left(\dfrac{y^2}{x^3-xy^2}+\dfrac{1}{x+y}\right):\dfrac{x}{y}\)
