Question

Cho x,y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

Answer 1

Có P\(=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)

Áp dụng bđt cosi vs hai số dương có:

\(xy+\frac{1}{16xy}\ge2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}=2\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}\)(1)

Có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) với mọi x,y

<=> \(1\ge4xy\) (do x+y=1)

=> \(\frac{1}{xy}\ge4\) <=> \(\frac{15}{16xy}\ge\frac{15}{16}.4=\frac{15}{4}\)(2)

Cộng vế vs vế của (1),(2) có \(xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge\frac{1}{2}+\frac{15}{4}\)

<=> \(xy+\frac{1}{xy}\ge\frac{17}{4}\)

<=> \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\frac{289}{16}\)

<=> \(P\ge\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)