Question

Cho x>0, y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}\)

Answer 1

\(T=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{1}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow T\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\ge\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)}{2}.\sqrt{2\left(x+y\right)}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow T_{min}=\sqrt{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)