Question

Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn : \(x+y+z=1\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P =\(\dfrac{xy}{z+1}+\dfrac{yz}{x+1}+\dfrac{xz}{y+1}\)

Answer 1

Ta có:\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(tự cm)

Áp dụng vào \(\Rightarrow P=\dfrac{xy}{z+1}+\dfrac{yz}{x+1}+\dfrac{zx}{y+1}\)

\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4z+4}+\dfrac{\left(y+z\right)^2}{4x+4}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{4y+4}\le\dfrac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{4\left(x+y+z+3\right)}=\dfrac{2^2}{4\cdot4}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow MAXP=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)