Question

Cho x , y thuộc R thỏa mãn : \(x^2+y^2+xy=1\)

Tìm min , max của \(P=2x^2-xy+7y^2\)

Answer 1

\(P=\frac{P}{1}=\frac{2x^2-xy+7y^2}{x^2+y^2+xy}\)

Từ điều kiện đề bài ta có \(xy\ne0\)

- Với \(y=0\Rightarrow P=2\)

- Với \(y\ne0\), chia cả tử và mẫu cho \(y^2\) ta được
\(P=\frac{2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+7}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}+1}=\frac{2a^2-a+7}{a^2+a+1}\) với \(a=\frac{x}{y}\)

\(\Rightarrow Pa^2+Pa+P=2a^2-a+7\)

\(\Leftrightarrow\left(P-2\right)a^2+\left(P+1\right)a+P-7=0\)

\(\Delta=\left(P+1\right)^2-4\left(P-2\right)\left(P-7\right)=-3P^2+38P-55\)

\(\Delta\ge0\Rightarrow\frac{5}{3}\le P\le11\)