Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thái Đoàn Quốc

Cho tứ giác ABCD có E là giiao điiểm của các đường chéo AC và D. Gọi I,J là trung điểm của BC, AD và H, K là trực tâm của tam giác ABE và CDE.

A) CM\(\overrightarrow{HK}\overrightarrow{.BD}=\overrightarrow{AC.}\overrightarrow{BD}\)

b)) CM: HK vuông góc IJ.

Akai Haruma
12 tháng 1 2020 lúc 18:37

Lời giải:

Bạn chỉ cần lưu ý rằng tích vô hướng của các vecto vuông góc với nhau thì bằng $0$ và ứng dụng vào tam giác $ABE, CDE$ có các trực tâm $H,K$.
a)

\(\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AK})\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC})\)

\(=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CK}=0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)

b)

Tương tự phần a ta có $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$

$\Rightarroe \overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}$

Vì $I,J$ là trung điểm của $BC,AD$ nên $\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{AJ}, \overrightarrow{DJ}$ là các cặp vecto đối nhau.

Ta có:
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EJ}=\frac{\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CE}}{2}+\frac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DJ}}{2}\)

\(=\frac{\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CE}}{2}+\frac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}}{2}=\frac{\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}}{2}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{IJ}=\frac{\overrightarrow{HK}(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA})}{2}=\frac{\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}}{2}=0\)

$\Rightarrow \overrightarrow{HK}\perp \overrightarrow{IJ}$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
12 tháng 1 2020 lúc 18:44

Hình vẽ:

Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
tơn nguyễn
Xem chi tiết
Hà Thu
Xem chi tiết
AEri Sone
Xem chi tiết
Got many jams
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Hải Đăng
Xem chi tiết