Cho tam giác nhọn ABC có đường cao là AD, lấy điểm H trên đoạn AD sao cho BD.CD =DH.DA. a) Chứng minh: H là trực tâm của tam giác ABC . b) Dựng các đường cao BE,CF . Gọi I là giao điểm của EF với AH ,K là trung điểm AH . Chứng minh I là trực tâm tam giác KBC . c) Trên đoạn BH ,CH lần lượt lấy các điểm Q,R sao cho AQC =ARB = 900 . Chứng minh: AQ =AR .
a: \(BD\cdot CD=DH\cdot DA\)
=>\(\dfrac{BD}{DH}=\dfrac{DA}{CD}\)
Xét ΔBDA vuông tại D và ΔHDC vuông tại D có
\(\dfrac{BD}{HD}=\dfrac{DA}{DC}\)
Do đó: ΔBDA~ΔHDC
=>\(\widehat{DBA}=\widehat{DHC}\)
mà \(\widehat{DHC}+\widehat{DCH}=90^0\)
nên \(\widehat{DCH}+\widehat{DBA}=90^0\)
=>CH\(\perp\)AB
Xét ΔABC có
CH,AD là các đường cao
CH cắt AD tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
c: Xét ΔAQC vuông tại Q có QE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AQ^2\left(1\right)\)
Xét ΔARB vuông tại R có RF là đường cao
nên \(AF\cdot AB=AR^2\left(2\right)\)
Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AB\cdot AF\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra AQ=AR
Xem chi tiết
