Vì AD là đường cao nên AD < AB (Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
\(\Rightarrow\frac{1}{AD}>\frac{1}{AB}\)
Chứng minh tương tự:
\(\frac{1}{BE}>\frac{1}{BC};\frac{1}{CF}>\frac{1}{BC}\)
Cộng tương ứng 2 vế của các bất phương trình ta có điều phải chứng minh.
\(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}\left(đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC có 3 đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{CA}\)
Cho \(\Delta ABC\) có các đường phân giác trong là AD, BE, CF . CMR :
\(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}\)
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB, AC. Gọi O là giao điểm của EF và AD.
Chứng minh rằng:
a) AE.AC = AF.AB và AI.AB = AK. AC
b) Chứng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACB
Bài 2 :
Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2\)
CMR ; \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a, Cmr : \(\Delta AEF\sim\Delta ABC;\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2A\)
b, Cmr : \(S_{DEF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}\)
c, Cmr :\(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge3\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
a, CMR: \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\) ; \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\cos^2\alpha\)
b, CMR: \(S_{DEF}=\left(1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\right).S_{ABC}\)
c, Cho biết AH = k.HD. CMR: \(\tan B.\tan C=k+1\)
d, CMR: \(\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{AC}+\frac{HC}{AB}\ge\sqrt{3}\)
Cho tam giác ABC qua 1 điểm O tùy ý trong tam giác ta kẻ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. chứng minh rằng: \(\frac{OE}{AE}+\frac{OD}{BD}+\frac{OF}{CF}=1\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Hai đường cao AD,BE cắt nhau tại H (D thộc BC,E thuộc AC)
a, Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn
b, Tia AO cắt đường tròn O tại K (K khác A) . Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành .
c,Gọi F là giao điểm của tia CH với AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\)
(Chỉ cần giúp tuii câu c thoiii)
△ ABC, Â = 90o, AH ⊥ BC. HE ⊥ AB, HF ⊥ AC. Chứng minh:
1, AE. AB = AF. AC + AF. FC
2, BH. HC = AE. EB + AF. FC
3, \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)
4, AB + AC ≤ \(\sqrt{2}.BC\)
5, AB. AC ≥ \(\frac{BC^2}{4}\)
Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Vẽ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M đối xứng với H qua BC.
a, C/minh: tứ giác ABMC nội tiếp trong đường tròn (gọi đường tròn đó là (O))
b, C/minh: OA vuông góc với EF
c, Gọi Q là trung điểm AB. C/minh: EQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔEHC
d, BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và CF cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Tính GTBT \(T=\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}\)
