Question

Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Gọi D,E lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống MN và MP.

a) Chứng minh tứ giác MDHE là hình chữ nhật

b) Gọi A là trung điểm của HP, chứng minh tam giác DEA vuông.

c) Tam giác MNP cần thêm điều kiện gì để DE=2EA.

Answer 1

HÌNH :

a) ta có : \(\widehat{DME}=90^o\) (giả thiết)

\(\widehat{HDM}=90^o\) (\(HD\perp MN\)) và \(\widehat{HEM}=90^o\) (\(HE\perp MP\))

xét tứ giác \(MDHE\) ta có : \(\widehat{DME}=\widehat{HDM}=\widehat{HEM}=90^o\)

\(\Rightarrow\) tứ giác \(MDHE\) là hình chữ nhật (đpcm)

b) ta có : \(EA\) là đường trung tuyến của tam giác \(HEP\)

\(\Rightarrow EA=AH=AP=\dfrac{1}{2}HP\) (tính chất đường trung truyến)

\(\Rightarrow\) tam giác \(EAP\) cân tại \(A\) (\(EA=AP\)) \(\Rightarrow\) \(\widehat{AEP}=\widehat{APE}\)

mà : \(\widehat{APE}=\widehat{NMH}\) (cùng phụ \(\widehat{N}\))

đồng thời : \(\widehat{NMH}=\widehat{DEH}\) (tứ giác \(MDHE\) là hình chữ nhật)

tóm lại : \(\widehat{AEP}=\widehat{DEH}\)

mà ta có : \(\widehat{AEP}+\widehat{HEA}=90^o\) (\(\widehat{HEP}=90^o\))

\(\Rightarrow\widehat{DEH}+\widehat{HEA}=90^o\) \(\Leftrightarrow\widehat{DEA}=90^o\)

\(\Rightarrow\) tam giác \(DEA\) vuông tại \(E\) (đpcm)