Question

Cho tam giác đều ABC cạnh a và điểm M bất kì nằm trong tam giá đó. gọi H, K,T tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BC, CA,AB. Chứng minh rằng MH + Mk + Mt = \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Answer 1

Kẻ đường cao AD nên AD cũng là đường trung tuyến .

Ta có :

\(S_{ABC}=S_{ABM}+S_{ACM}+S_{BCM}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}S_{ABM}=\dfrac{a.MT}{2}\\S_{ACM}=\dfrac{a.MK}{2}\\S_{BCM}=\dfrac{a.MH}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế ta có :

\(S_{ABC}=\dfrac{a\left(MH+MK+MT\right)}{2}\)

Mặt khác :

\(S_{ABC}=\dfrac{a.AD}{2}\)

\(\Rightarrow AD=MK+MH+MT\)

Nên ta cần chứng minh :

\(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có :

\(AD=\sqrt{a^2-CD^2}\) ( py - ta - go )

\(\Rightarrow AD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Nên :

\(MK+MH+MT=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Answer 2

Sao lại làm dài vậy nhỉ?

a, Hạ đường cao AD của tam giác ABC

Ta có: \(S_{ABC}=S_{AMB}+S_{AMC}+S_{BMC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AD.a}{2}=\dfrac{MI.a}{2}+\dfrac{MK.a}{2}+\dfrac{MH.a}{2}\)

\(\Leftrightarrow AD=MI+MK+MH\) (1)

Vì AD là đường cao của tam giác ABC nên AD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó \(BD=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ta có:

\(AD=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được: \(MI+MK+MH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)(đpcm)