Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ phân giác góc D cắt EF tại I, kẻ đường cao FK cắt DI tại M. Trên cạch DF lấy điểm N sao cho DN = DK
a)chứng minh tam giác DK M = tam giác DNM
b)chứng minh tam giác MKN cân
c)chứng minh MN vuông góc với DF
d)chứng minh ba điểm E, M, N thẳng hàng
e)chứng minh KN // EF
giúp mk với mk sáp thi òi :<
a) Xét ΔDKM và ΔDNM ta có:
DK = DN (GT)
\(\widehat{KDM}=\widehat{NDM}\left(GT\right)\)
DM: cạnh chung
=> ΔDKM = ΔDNM (c - g - c)
b) Có: ΔDKM = ΔDNM (cmt)
=> KM = NM (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác NMK cân tại M
c) Có: ΔDKM = ΔDNM (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{DNM}=\widehat{DKM}=90^0\) (2 góc tương ứng)
=> DN ⊥ NM
Hay: DF ⊥ NM (3)
d) Xét ΔDNE và ΔDKF ta có:
DN = DK (GT)
\(\widehat{EDF}\): chung
DE = DF (GT)
=> ΔDNE = ΔDKF (c - g - c)
\(\Rightarrow\widehat{DNE}=\widehat{DKF}=90^0\) (2 góc tương ứng)
=> DN ⊥ EN
Hay: DF ⊥ EN (4)
Từ (3) và (4) => E, M, N thẳng hàng
e) ΔDEF cân tại D (GT)
\(\Rightarrow\widehat{DEF}=\frac{180^0-\widehat{EDF}}{2}\left(1\right)\)
ΔDKN có: DK = DN (GT)
=> ΔDKN cân tại D
\(\Rightarrow\widehat{DKN}=\frac{180^0-\widehat{EDF}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{DEF}=\widehat{DKN}\)
Mà 2 góc này lại là 2 góc đồng vị
=> KN // EF
a) Xét ΔDKM và ΔDNM có
DK=DN(gt)
\(\widehat{KDM}=\widehat{NDM}\)(DI là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\), K∈DE, N∈DF, M∈DI)
DM chung
Do đó: ΔDKM=ΔDNM(c-g-c)
b) Ta có: ΔDKM=ΔDNM(cmt)
⇒MK=MN(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔMKN có MK=MN(cmt)
nên ΔMKN cân tại M(định nghĩa tam giác cân)
c) Ta có: ΔDKM=ΔDNM(cmt)
⇒\(\widehat{DKM}=\widehat{DNM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{DKM}=90^0\)(FK⊥DE, M∈FK)
nên \(\widehat{DNM}=90^0\)
hay MN⊥DF
d) Xét ΔDIE và ΔDIF có
DE=DF(ΔDEF cân tại D)
\(\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\)(DI là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\))
DI chung
Do đó: ΔDIE=ΔDIF(c-g-c)
⇒\(\widehat{DIE}=\widehat{DIF}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{DIE}+\widehat{DIF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{DIE}=\widehat{DIF}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
⇒DI⊥EF
Xét ΔDEF có
FK là đường cao ứng với cạnh DE(gt)
DI là đường cao ứng với cạnh EF(cmt)
FK\(\cap\)DI={M}
Do đó: M là trực tâm của ΔDEF(định nghĩa trực tâm của tam giác)
⇒EM là đường cao ứng với cạnh DF
⇒EM⊥DF
mà MN⊥DF
và EM và MN có điểm chung là M
nên E,M,N thẳng hàng(đpcm)
e) Xét ΔDKN có DK=DN(gt)
nên ΔDKN cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{DKN}=\frac{180^0-\widehat{KDN}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔDKN cân tại D)
hay \(\widehat{DKN}=\frac{180^0-\widehat{EDF}}{2}\)(1)
Ta có: ΔDEF cân tại D(gt)
⇒\(\widehat{DEF}=\frac{180^0-\widehat{EDF}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔDEF cân tại D)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DKN}=\widehat{DEF}\)
mà \(\widehat{DKN}\) và \(\widehat{DEF}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên KN//EF(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
