Câu này có 1 cách giải rất độc đáo:
Trong tam giác ABC, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BOC}=2A\) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn BC)
Tương tự với 2 góc còn lại
Gọi \(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\) là các vecto có độ dài bằng 1 đơn vị và cùng phương với \(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\) \(\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\widehat{AOB}=2C\)
\(\left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\right)=\widehat{BOC}=2A\) ; \(\left(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a}\right)=\widehat{AOC}=2B\)
Với mỗi bộ số \(\left(x;y;z\right)\) ta luôn xác định được các điểm X; Y; Z sao cho:
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OX}=x.\overrightarrow{a}\\\overrightarrow{OY}=y.\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{OZ}=z.\overrightarrow{c}\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\left(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}+\overrightarrow{OZ}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+z.\overrightarrow{c}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)+2yz.cos\left(\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}\right)+2zx.cos\left(\overrightarrow{c};\overrightarrow{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy.cos2C+2yz.cos2A+2zx.cos2B\ge0\)
