Cho tam giác ABC vuông tại A,tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại M.Kẻ MD vuông góc với BC tại D.
a)Chứng minh: \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{BMD}\)
b)Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MD và BA Chứng minh:AC=DE
c)Chứng minh: Δ A M E = Δ D M C
d)Kẻ DH ⊥ MC tại H và AK ⊥ ME tại K.Hai tia DH và AK cắt nhau tại N.Chứng minh:MN là phân giác của \(\widehat{KMH}\)
e)Chứng minh:Ba điểm B,M,N thẳng hàng g)Chứng minh:BN ⊥ AD,BN ⊥ EC
h) Δ ABC thỏa mãn điều kiện gì để Δ NAD là tam giác đều
a) Sửa đề: \(\widehat{BMA}=\widehat{BMD}\)
Xét 2 tam giác vuông ΔABM và ΔDBM ta có:
Cạnh huyền BM chung
\(\widehat{ABM}=\widehat{DBM}\left(GT\right)\)
=> ΔABM = ΔDBM (c.h - g.n)
=> \(\widehat{BMA}=\widehat{BMD}\) (2 góc tương ứng)
b) Có: ΔABM = ΔDBM (câu a)
=> BA = BD (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔEBD và ΔCBA ta có:
\(\widehat{ABC}\): góc chung
BD = BA (cmt)
\(\widehat{EDB}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)
=> ΔEBD = ΔCBA (g - c - g)
=> ED = AC (2 cạnh tương ứng)
c) Xét ΔABM = ΔDBM (câu a)
=> AM = DM (2 cạnh tương ứng)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM+MC=AC\\MD+EM=ED\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=DM\left(cmt\right)\\AC=ED\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> MC = EM
Xét 2 tam giác vuông ΔAME và ΔDMC ta có:
Cạnh huyền EM = MC (cmt)
\(\widehat{AME}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)
=> ΔAME = ΔDMC (c.h - g.n)
d)+) Xét ∆AKM vuông tại K và ∆DHM vuông tại H có
AM = DM (cmt)
AMK = DMH (đối đỉnh)
=> ∆AKM = ∆DHM (ch-gn)
=> AMK = DMH (t/ứ) (1)
và KM = HM (t/ứ)
+) Xét ∆KMN vuông tại K và ∆HMN vuông tại H có
MN : cạnh chung
KM = HM (cmt)
=> ∆KMN = ∆HMN (ch-cgv)
=> KMN = HMN (t/ứ) (2)
và KNM= HNM (t/ư)
=> MN là pg KNH
e) +) Theo câu a ta có ∆ABM = ∆DBM
=> AMB = DMB (t/ứ) (3)
Từ (1);(2) và (3) => AMB + AMK +KMH = DMB + DMH +HNM
=> BMN = 180°
=> ...đpcm
g) +) Giả sử I là giao điểm của BN và DA (4)
+) Xét ∆ABI và ∆DBI có
AB = DB (gt)
ABM = MBD (gt)
BI : cạnh chung
=> ∆ABI = ∆DBI (c.g.c)
=> AIB = DIB (t/ứ)
Mà AIB + DIB = 180°
=> AIB = 90° (5)
Từ (4) và (5) => đpcm
+) Gọi F là giao điểm EC và BN
+) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BD\left(gt\right)\\AE=DC\left(\Delta AEM=\Delta DEM-cmt\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ EB = BC
+) Xét ΔBEF và ΔBCF có
BE = BC (cmt)
ABN = CBN
BF : cạnh chung
⇒ ΔBEF = ΔBCF (c.g.c)
⇒ BFE = BFC ( 2 góc t/ứ)
Mà BFE + BFC = 180o ( kề bù)
⇒ BFE = BFC = 90o
Lại có BN cắt EC tại F
⇒ \(BN\perp EC\)
h) +) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp AC\\DH\perp AC\end{matrix}\right.\) (gt)
⇒ AB // DH
⇒ AED = EDN (slt)
và DEC = ADE (slt)
⇒ AED + DEC = EDN + ADE
⇒ AEC = ADN = 60o ( do t/g ADN đều _ gt) (*1)
+) Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}BN\perp CE\\BN\perp AD\end{matrix}\right.\) (cmt)
⇒ CE // AD
⇒ ACE = DAC ( slt)
+) Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AK\perp ME\\ME\perp DC\end{matrix}\right.\)
⇒ AK // DC
⇒ DCA = CAN
⇒ ACE + DCA = CAN + DAC
⇒ BCE = DAN = 60o ( do t/g ADN đều_gt) (*2)
Từ (*1) và (*2) ⇒ EBC = 60o
Hay ABC = 60o
Vậy để ΔNAD đều thì ΔABC là nửa tam giác đều
P/s : mới lm bài này ^^ cs j sai thì thông cảm ~!
