Question

cho tam giác ABC vuông tại A,có phân giác AD.CMR: \(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\)

Answer 1

Đặt \(AB=a;AC=b;AD=c\). Kẻ \(DE\) vuông góc \(AC(E\in AB; F\in AC)\)

Ta có: Tứ giác \(AFDE\) là hình chữ nhật do \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\), AD phân giác trong của \(\widehat{EAF}\) nên \(\widehat{AFDE\:}\) là hình vuông. Suy ra

\(DE=DF=\dfrac{AD\sqrt{2}}{2}=\dfrac{c\sqrt{2}}{2}\). Ta có:

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}AB\cdot DE+\dfrac{1}{2}DF\cdot AC=\dfrac{1}{2}AC\cdot AB\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c\sqrt{2}}{2}a+\dfrac{c\sqrt{2}}{2}b=ab\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\). Hay \(\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\)