Hình bạn tự vẽ nha. Thanks 
a) Xét tứ giác AMHN, có:
\(\widehat{MAN}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\left(=90^o\right)\)
\(\Rightarrow AMHN\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MN=AH\)(t/c 2 đường chéo của hình chữ nhật)
b)Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H, có: \(HM\perp AB\)
\(\Rightarrow AH^2=AM.AB\)(1)
Tương tự, xét \(\Delta ACH\) vuông tại H có: \(HN\perp AC\)
\(\Rightarrow AH^2=AN.AC\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(AM.AB=AN.AC\)
c)Ta có: \(AM.AB=AN.AC\left(cmt\right)\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét 2 tam giác vuông: AMN và ACB, có:
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(c.g.c\right)\)
d)Vì \(\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A, có: O là trung điểm của BC
\(\Rightarrow OA=OB=OC=\frac{BC}{2}\)
Mà OA =OB(cmt)
nên \(\Delta OAB\) là tam giác cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{OAB}\)
Gọi giao điểm của OA và MN là I
Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta BAC\), có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{OAB}=\widehat{B}\left(cmt\right)\)
Do đó: \(\Delta AIM\sim\Delta BAC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{BAC}=90^o\)
\(\Rightarrow AO\perp MN\left(đpcm\right)\)
