Lời giải:
a)
Xét tam giác $BHA$ và $BAC$ có:
\(\left\{\begin{matrix}
\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\\
\text{góc B chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle BAC(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow BA^2=BH.BC(1)\)
Hoàn toàn TT: \(\triangle BEA\sim \triangle BAF(g.g)\Rightarrow \frac{BE}{BA}=\frac{BA}{BF}\)
\(\Rightarrow BE.BF=BA^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow BE.BF=BH.BC\)
b) Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM$ bằng nửa cạnh huyền (tính chất quen thuộc)
(Chứng minh: Bạn kẻ tia đối $MN$ của tia $MA$ sao $MA=MN$, chứng minh được $BACN$ à hình chữ nhật rồi suy ra)
Vậy \(AM=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2BH.AM=BH.BC\)
Theo phần a ta chứng minh được: \(BH.BC=BA^2\Rightarrow 2BH.AM=BA^2\) (đpcm)
c)
$F$ thuộc $AC$ nên $AFC$ không phải tam giác. Bạn xem lại đề bài.
Nếu chữa đề như bạn nói thì giải như sau:
Theo các phần trên ta đã chỉ ra được \(AM=\frac{BC}{2}\Rightarrow AM=BM\)
Do đó tam giác $ABM$ cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{MAB}\)
\(\Rightarrow 90^0-\widehat{MBA}=90^0-\widehat{MAB}\)
\(\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ABF}\)
Xét tam giác $AFB$ và $ABC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{góc A chung}\\ \widehat{ABF}=\widehat{ACB}(cmt)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle AFB\sim \triangle ABC(g.g)\). Ta có đpcm.
Tìm độ dài của BH; CH; AB và AC.
