a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{100}=10cm\)
Xét ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(AM=\frac{10}{2}=5cm\)
Xét ΔABC có
BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
BN\(\cap\)AM={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(AG=\frac{2}{3}AM\)
Ta có: AG+GM=AM(G nằm giữa A và M)
\(\Leftrightarrow GM=AM-AG=AM-\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM\)
hay \(GM=\frac{1}{3}\cdot5=\frac{5}{3}cm\)
Vậy: BC=10cm; AM=5cm; \(GM=\frac{5}{3}cm\)
b) Xét ΔCNM và ΔBKM có
CM=BM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
\(\widehat{CMN}=\widehat{BMK}\)(hai góc đối đỉnh)
NM=KM(gt)
Do đó: ΔCNM=ΔBKM(c-g-c)
⇒\(\widehat{NCM}=\widehat{KBM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{NCM}\) và \(\widehat{KBM}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên BK//CN(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
hay BK//AC(A∈CN)
c) Xét ΔABC có
N là trung điểm của AC(BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC)
M là trung điểm của BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC)
Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(MN=\frac{1}{2}AB\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(đpcm)
