cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC). Gọi I là trung điểm cua BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. gọi H là điểm đối xứng của I qua AB, D là điểm đối xứng của I qua AC.
a) Tứ giác AMIN là hình j?
b) chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi
c) c/m đỉểm H đối xứng với điểm D qua A
d) đường thẳnh BN cắt DC ở K. C/m DC = 3DK
mk cần gấp
a) Xét tứ giác AMIN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), M∈AB, N∈AC)
\(\widehat{AMI}=90^0\)(IM⊥AB tại M)
\(\widehat{ANI}=90^0\)(IN⊥AC tại N)
Do đó: AMIN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: D và I đối xứng nhau qua AC(gt)
nên AC là đường trung trực của DI
⇔A,C nằm trên đường trung trực của DI
⇔AD=AI và CD=CI(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(I là trung điểm của BC)
nên \(AI=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(BI=CI=\frac{BC}{2}\)(I là trung điểm của BC)
nên AI=CI=BI(2)
Từ (1) và (2) suy ra AI=CI=CD=AD
Xét tứ giác ADCI có AI=CI=CD=AD(cmt)
nên ADCI là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: H và I đối xứng nhau qua AB(gt)
nên AB là đường trung trực của HI
⇔A,B nằm trên đường trung trực của HI
⇔AI=AH và BI=BH(3)
Từ (2) và (3) suy ra AI=IB=BH=AH
Xét tứ giác AIBH có AI=IB=BH=AH(cmt)
nên AIBH là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét ΔAIB có AI=IB(cmt)
nên ΔAIB cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)
mà IM là đường cao ứng với cạnh đáy AB(gt)
nên IM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(Định lí tam giác cân)
⇒M là trung điểm của AB
Ta có: AIBH là hình thoi(cmt)
nên Hai đường chéo AB và IH vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình thoi)
mà M là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
nên M là trung điểm của đường chéo IH
Xét ΔAIC có AI=CI(cmt)
nên ΔAIC cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)
mà IN là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
nên IN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(Định lí tam giác cân)
hay N là trung điểm của AC
Ta có: AICD là hình thoi(cmt)
nên Hai đường chéo AC và DI vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình thoi)
mà N là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
nên N là trung điểm của đường chéo DI
Xét ΔADI có AD=AI(cmt)
nên ΔADI cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
mà AN là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy DI(N là trung điểm của DI)
nên AN là đường phân giác ứng với cạnh DI(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{DAN}=\widehat{IAN}\)
hay \(\widehat{DAC}=\widehat{IAC}\)
Xét ΔAIH có AI=AH(cmt)
nên ΔAIH cân tại A(Định lí tam giác cân)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy IH(M là trung điểm của IH)
nên AM là đường phân giác ứng với cạnh IH(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{IAM}=\widehat{HAM}\)
hay \(\widehat{IAB}=\widehat{HAB}\)
Ta có: tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên \(\widehat{BAI}+\widehat{CAI}=\widehat{BAC}\)
hay \(\widehat{BAI}+\widehat{CAI}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{DAH}=\widehat{DAC}+\widehat{IAC}+\widehat{IAB}+\widehat{HAB}\)
\(=2\cdot\widehat{IAC}+2\cdot\widehat{IAB}\)
\(=2\left(\widehat{IAC}+\widehat{IAB}\right)\)
\(=2\cdot90^0=180^0\)
hay D,A,H thẳng hàng(4)
Ta có: AD=AI(cmt)
mà AH=AI(cmt)
nên AD=AH(5)
Từ (4) và (5) suy ra A là trung điểm của DH
hay D và H đối xứng nhau qua A(Đpcm)
