Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ P vẽ PM // BC

a) CM : PCQM là hình chữ nhật

b) Gọi I là trung điểm của PQ. Cm khi P di chuyển trên AC, Q di chuyển trên BC thì I di chuyển trên một đoạn thẳng cố định

Help <3

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên \(\angle CAB=45^0\)

\(PM\parallel BC; AC\perp BC\Rightarrow PM\perp AC\) hay \(PM\perp AP\)

Do đó tam giác $APM$ vuông tại $P$ mà lại có \(\angle PAM=\angle CAB=45^0\) nên $APM$ là tam giác vuông cân tại $P$

\(\Rightarrow AP=PM\)

Mà \(AP=CQ\Rightarrow PM=CQ\). Hơn nữa \(PM\parallel BC\Leftrightarrow PM\parallel CQ\)

Do đó \(PMQC\) là hình bình hành. Hình bình hành $PMQC$ có \(\angle MPC=\angle PCQ=90^0\Rightarrow PMQC\) là hình chữ nhật (đpcm)

b) Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$

Do $PMQC$ là hình chữ nhật nên $PQ,MC$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó $I$ cũng là trung điểm của $MC$

Xét tam giác $AMC$ có $I$ là trung điểm $MC$, $H$ là trung điểm $AC$ nên $IH$ là đường trung bình của tam giác $AMC$

\(\Rightarrow HI\parallel AM\Leftrightarrow HI\parallel AB\)

Tương tự, \(KI\parallel AB\)

Mà \(HK\parallel AB\) do $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

Do đó \(H,I,K\) thẳng hàng hay $I$ luôn nằm trên đoạn thẳng cố định $HK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

Answer 2