Question

Cho tam giác ABC và điểm I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác. Vẽ ID vuông góc với AB tại D, IE vuông góc với AC tại E. Chứng minh rằng: \(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{BIC}\) = 180^o

Answer 1

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)

=>\(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=90^0-\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\)

\(\widehat{BIC}=180^0-\left(90^0-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}\right)=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}+90^0\)

Xét ΔADI vuông tại D và ΔAEI vuông tại E có

AI chung

\(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}\)

Do đo: ΔADI=ΔAEI

Suy ra: AD=AE

hay ΔADE cân tại A

=>\(\widehat{ADE}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)

\(\widehat{BIC}+\widehat{ADE}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}+90^0-\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}+90^0=180^0\)