Question

cho tam giác ABC, nội tiếp đường tròn O. hai dường cao BD và CE cắt nhau tại H. tia BD cắt đường tròn tại M. tia CE cắt đường tròn tại N

Chứng minh

a. tứ giác BCDE nội tiếp

b, tam giác ADB đồng rạng với tam giác ACE, từ đó suy ra AE.AB = AB.AC

c, AO vuông góc với MN

Answer 1

a) Xét tứ giác BCDE có 

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{BEC}\) và \(\widehat{BDC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh BC

Do đó: BCDE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Answer 2

b) Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)(Đpcm)